Tomma mängden

Tomma mängden är en mängd utan några element.

Det finns bara en tom mängd. Mängden av alla tomma mängder innehåller en tom mängd, men mängden av alla tomma mängder är i sig inte en tom mängd.

Tomma mängden brukar betecknas Ø.

Se även: Ø, Mängd, mängdlära.

Bevis för att det bara finns en tom mängdMan brukar säga att det finns två sorters bevis som är extra svåra: dels de som bevisar något avancerat, och dels de som bevisar något helt trivialt. Detta bevis faller definitivt i senare kategorin. Det blir krångligt just eftersom det inte är helt enkelt att veta vad man får använda och inte. Vi måste bestämma oss för vilket axiomsystem vi ska använda, och bara använda sådant som går att härleda ur axiomen.

Lyckligtvis finns det axiomsystem lättillgängliga. Standardaxiomsystemet för mängdlära är Zermelo-Fraenkels axiom ( http://mathworld.wolfram.com/Zermelo-FraenkelAxioms.html), och första axiomet lyder, omformulerat till naturligt språk:

• om, för alla x, x tillhör A om och endast om x tillhör B, så är A=B.

Femte axiomet behöver vi också, och det lyder:

• det finns en mängd Ø med egenskapen att det inte finns något x sådant att x tillhör Ø.

Nu har vi allt vi behöver för beviset. Resten av beviset går ut på följande: definiera A och B som Ø, dvs tomma. Utifrån det härleder vi att A=B. Därmed är det klart att det inte kan finnas två olika tomma mängder.

För alla x gäller som sagt att x inte tillhör A. Dessutom gäller för alla x att x inte tillhör B. Därmed gäller för alla x att x tillhör A om och endast om x tillhör B. Enligt första axiomet i ZF gäller då att A=B, VSB.

Är mängden av alla Tomma mängder mer tom än den Tomma mängden? /Bucky

Svar: Nej. Mängden av alla tomma mängder är inte tom, eftersom den innehåller tomma mängden.

Om man låter en mängd innehållande X betecknas {X}, blir {} beteckning för en tom mängd, och mängden med tomma mängden {{}}. Mängden med mängden med tomma mängden blir {{{}}}, osv. //Fabian Norlin

Varför är det så kallt i tomma mängden? Där finns inga element... (Se även nördhumor.)

Redigera?

Artikeln skriven 2009-01-16 av Learning4sharing

Inga kategorier för denna artikel än...

Intresserad av fler artiklar?

Hela tal
Biblioteksutrustning
Vinylskiva
Jehovas vittnen
Folktribunen
Nationell Ungdom
Glukos
Skinka
Mikrobiologi