Trigonometriska funktioner

Innehåll- 1. Funktionernas definition - 1.1 Rätvinklig triangel - 1.2 Enhetscirkeln - 1.3 Derivator - 1.4 Oändliga serier - 2. De trigonometriska funktionernas definitions- och värdemängder - 2.1Sinus - 2.2 Cosinus - 2.3 Tangens - 3. Inversa funktioner - 3.1 De inversa funktionernas derivator - 3.1.1 Arcsin - 4. Länkar: - 4.1Låtar

Trigonometriska funktionerär väldigt viktiga i studier av geometri och periodiska funktioner. De trigonometriska funktionerna kan definieras genom olika förhållanden mellan sidorna i en triangel, som vinklar i enhetscirkeln eller som oändliga serier.

Det finns sex grundläggande trigonometriska funktioner

• Cosinus (cos)
• Sinus (sin)
• Tangens (tan)
• Sekant (sec = 1/cos)
• Cosekant (csc = 1/sin)
• Cotangent (cot = 1/tan)

Inversa funktionen till (en restriktion av) de tre första brukar kallas

• Arcus cosinus (arccos)
• Arcus sinus (arcsin)
• Arcus tangens (arctan)

De mest grundläggande och användbara funktionerna är de tre första.

sin, tan, csc, cot, arcsin och arctan är udda funktioner.cos och sec är jämna funktioner.

1. Funktionernas definition

1.1 Rätvinklig triangel

Vinkel A /|/ | /|/ |Hypotenusa /| Katet bc / | (närliggande) /|/ | / _| Vinkel B /_______|_| Vinkel C

Katet a(motstående)

Figuren ovan visar vilken katet som är närliggande/motstående för vinkeln A, om vinkeln B är intressant blir a närliggande katet och b då motstående katet.

• Sinus för en vinkel definieras som motstående katet delat med hypotenusan.
  • sin(A) = a/c
  • sin(B) = b/c
• Cosinus för en vinkel definieras som närliggande katet delat med hypotenusan.
  • cos(A) = b/c
  • cos(B) = a/c
• Tangens för en vinkel definieras som motstående katet delat med närliggande katet.
  • tan(A) = a/b
  • tan(B) = b/a
• Cosekanten för en vinkel definieras som hypotenusan delat med motstående katet.
  • csc(A) = c/a
  • csc(B) = c/b
• Sekanten för en vinkel definieras som hypotenusan delat med närliggande katet.
  • sec(A) = c/b
  • sec(B) = c/a
• Cotangens för en vinkel definieras som närliggande katet delat med motstående katet
  • cot(A) = b/a
  • cot(B) = a/b

1.2 Enhetscirkeln

Med hjälp av enhetscirkeln kan vi utforska vad som händer med negativa vinklar och vinklar som är större än 90 eller pi/2 radianer. Visserligen utförs alla beräkningar med hjälp av resultaten från definitionern från den rätvinkliga triangeln, men det är enbart hjälpmedel.

Enhetscirkeln definieras av ekvationen

x² + y² = 1

vilken beskriver en cirkel med radien 1 vilket illustreras av de båda figurerna nedan.

Vinklar räknas positiva om de utgör en förflyttning moturs och negativa om de utgör en förflyttning medurs (fig 1).

· ·|`y|`y | | _.-"|"-._ (-cos a, sin a) _.-"|"-._(cos a, sin a) .|/ `. .||/|`./| / /| | / || |/)a| | |a(|/)a| | --+-------+-------+---+--+----+---+---+- | |)-a |x| | |x| / |/ `._ |\_. `._ | _.`-.+.- `-.+.- | | fig. 1fig. 2

Som det syns i figur två får punkterna på cirkeln x och y koordinaterna av cosinus och sinus för vinkeln a. Det är inte så märkligt om man tänker på det. För det första går det alltid att rita in en rätvinklig triangel som har ena hörnet på cirkelns rand och således har den en hypotenusa som är 1 le lång. Notera att värdena för a=0 och a=pi/2 är (1,0) och (0,1).

Ur detta kan man även härleda sin första trigonometriska formel med hjälp av pythagoras sats, nämligen attcos a² + sin a² = 1

Denna formel används mycket för att bevisa olika trigonometriska samband, och kallas "den trigonometriska ettan".

Vill man ha en annan radie än 1, låt oss säga r, är det bara att multiplicera igenom i båda led och vi får en egen variant av pythagoras sats fast för polära koordinater.

En annan sak som vi ser i figur ett är att

sin(-a) = -sin(a)cos(-a) = cos(a)

En sak man inte ser så enkelt grafiskt, men lätt inser om man tänker lite på det är att följande regler också gäller (tänk på att sin(pi/2)=cos(0)) är att

cos(pi/2 - t) = sin(t) (alt. cos(90° - t) = sin(t))sin(pi/2 - t) = cos(t) (alt. sin(90° - t) = cos(t))

Nog om detta, hur var det nu med vinklar som är större än pi/2 (90°)? I figur två finns det två vinklar a. Man kan även beskriva den hypotenusan i första kvadranten (fyrkanten längst upp till vänster) som om vinkeln var pi-a (180°-a). Detta bidrar till ytterligare intressanta observationer.

cos(pi-t) = -cos(t) (alt. cos(180° - t) = -cos(t))sin(pi-t) = sin(t) (alt. sin(180° - t) = sin(t))

Det finns en uppsjö av andra mer eller mindre användbara trig-formler. Om man vill fortsätta härleda dem börjar man med att notera att:

cos(x-y) = cos(x)*cos(y) + sin(x)*sin(y)

För att se det kan man rita två vektorer u och v i enhetscirkeln med vinklarna x och y och ta skalärprodukten (u|v) på båda sätten (x- och y-axeln är en ortonormerad bas). Man får då: (u|v) = cos(x-y) = cos(x)*cos(y) + sin(x)*sin(y). Med den här formel kan man fortsätta härleda ett ganska många andra. Om man nu t.ex. byter tecken på y får man:

cos(x+y) = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)

Och med x = y får vi formeln för cos(2x):

cos(2x) = cos(x)^2 - sin(x)^2 = /trig-ettan/ = 2*cos(x)^2 - 1

...

1.3 DerivatorDe olika trigonometriska funktionerans derivator med avseende på t ärLite härledningar vore kanske skoj.... //Pel

dd -- sin(t) = cos t-- cos(t) = - sin(t) dt dt

d -- tan(t) = 1/cos²(t) = sec²(t) = 1 + tan²(t) dt

d -- csc(t) = -csc(t)*cot(t) dt

d -- sec(t) = sec(t)*tan(t) dt

d -- cot(t) = -csc²(t) dt

1.4 Oändliga serier

2. De trigonometriska funktionernas definitions- och värdemängder

2.1SinusFunktionen y = A sin (B * (x + C)) + D är periodisk med perioden 2*pi / B och med oändlig definitionsmängd. Värdemängden är [x | D-A <= x <= D+A]

2.2 Cosinus

2.3 Tangens

3. Inversa funktioner

De trigonometiska funktionernas inverser är de funktioner för vilket

arcsin( sin(t) ) = t = sin( arcsin(t) )arccos( cos(t) ) = t = cos( arccos(t) )arctan( tan(t) ) = t = tan( arctan(t) )...

funktionen betcknas ibland också som sin^-1(t) (sinus upphöjt till -1 av t), cos^-1(t), etc...

Man kan också säga att arcus (båge) ger storleken på vinkeln som en funktion av förhållandet mellan kateter och hypotenusa.

3.1 De inversa funktionernas derivatorNär man deriverar inversa funktioner måste funktionen vara 1-1 (ett värde på x korrelerar till ett och endast ett värde på y). Eftersom trigonometriska funktioner är periodiska är de inte 1-1, därför bestämmer man sig för att derivera funktionen på ett intervall där den är 1-1.

3.1.1 Arcsinsin(t) har min och max i (-pi/2,-1) och (pi/2,1). På intervallet [-pi/2..pi/2] är sin(t) 1-1. På intervallet [-1..1] hararcsin(t) målmängd i intervallet [-pi/2..pi/2].

y = arcsin(x) x = sin(y)

Implicit deriviering ger

1 = dy/dx*cos(y)

Eftersom cos(y) är större än noll i intervallet [-pi/2..pi/2] kan den trigonometriska ettan utnyttjas.

cos(t) = sqrt(1-sin²(t)) dy/dx = 1/sqrt(1-sin²(y))

Men x=sin(y) medför

d 1--arcsin(x) = ----------dxsqrt(1-x²)%0

4. Länkar:

4.1LåtarLåten "Vi äro cosecanter (Trigonometriska paraden)" i samlingen "Matematiska nidvisor 18" hjälper dig komma ihåg räkneregler på flera trigonometriska funktioner.

Tankas ned från sidan: http://www.helgo.net/gavel/matte/mattemusik.html

Redigera?

Artikeln skriven 2009-01-17 av Learning4sharing

Inga kategorier för denna artikel än...

Intresserad av fler artiklar?

Husfluga
Seriff
Magnus Fluga
Fluga
UML
Konsultbolag
Calle Flygare Teaterskola
Jim Rumbaugh
Martin Short