Rationella tal

Rationella tal är tal som kan skrivas på formen m/n där m och när hela tal och n ej är noll. (Alla rationella tal kan normeras så att n är positivt om man vid behov förlänger med -1, och därtill så att m och n är relativt prima via lämplig förkortning.) Kroppen av rationella tal brukar betecknas Q.

Eftersom ett godtyckligt heltal h kan skrivas som h/1, så är alla hela tal rationella.

Om n delar m så är det rationella talet m/n ett heltal.När n ej delar m kallas talet m/n för ett bråktal. Exempelvis är 8 inte en jämn delare av 100. Således är 100/8 (som helst ska skrivas 25/2, eller 12 ½ ) ett bråktal.

Alla rationella tal har som gemensam framställningsform, utom bråkformen m/n, också en ändlös decimalutveckling, som är alltid periodisk; t.ex.

-7 = -7,00000000... (eller -6,99999999...)

12 ½ = 12,5000000... (eller 12,49999999...)

1/3 = 0,33333333...

50/73 = 0,684931506849315068493150... (perioden innehåller åtta siffror)

Talens ändlösa utvecklingar kan också skrivas i 2-basiga eller dyadiska siffersystemet ("binära systemet"), då man behöver endast siffrorna 0 och 1. T.ex. har vi

12 ½ = 1100,10000000...

50/73 = 0,101011110101011110101011110... (perioden innehåller nio bitar)

Om man ville tillåta ickeperiodiciteten, såsom i 0,1112131415161718192021222324..., så måste man utvidga begreppet rationellt tal till begreppet reellt tal. De ickeperiodiska utvecklingarna motsvarar de irrationella talen.

Ingen kan hindra oss att skriva även sifferutvecklingar som går ändlöst från kommat ej till höger såsom vanligt utan till vänster!Även med till vänster fortsättande utvecklingar kan man föreställa rationella tal, om utvecklingen bara är periodisk; t.ex. gäller det i 2-basiga siffror att

...0000001 = 1 (naturligt!)

...1111111 = -1 (granska detta genom att addera med 1; NB 1+1 = 10)

...00110011001101 = 1/5 (granska genom att multiplicera med 5 = 101)

Också subtrahering och dividering av sådana utvecklingar lyckas bra; alla sker från höger till vänster, vilket gör saken ytterst bekväm!Försök t.ex. dividera ...0000001:...00110011001101.

Men om man igen vill tillåta ickeperiodiciteten, såsom i utvecklingen ...011110111011010,1, så har man anlänt till riket av 2-adiska eller dyadiska tal. De utgör ett specialfall av p-adiska tal (p = 2).Alla dyadiska tal, både ickeperiodiska och periodiska, bildar en kropp som ej ingår i kroppen C av de komplexa talen.

Att de rationella talen inte förmår allt som vi i vardagen använder tal till, förstår man t.ex. då man undersöker förhållandet mellan diagonalen och sidan på en kvadrat eller förhållandet mellan diametern och omkretsen på en cirkel.Ingetdera av dessa förhållanden kan uttryckas med ett rationellt tal, dvs. på formen m/n.

J. Pahikkala 2003.11.11

Se även

• OscarTexaTal
• algebraiska tal
• naturliga tal

Redigera?

Artikeln skriven 2009-01-18 av Learning4sharing

Inga kategorier för denna artikel än...

Intresserad av fler artiklar?

Trettiotvåbit
Petabyte
Exabyte
Grundkallen
Pressombudsman
John Pohlman
Larry Flynt
Median
Yokozuna