Pythagoras sats

Pythagoras sats är en geometrisk sats (en matematisk regel) som säger hur sidorna i en rätvinklig triangel förhåller sig till varandra. Satsen var känd långt innan den grekiske filosofen Pythagoras föddes och användes av både egyptier och asiater. Pythagoras var dock den förste som bevisade att satsen gäller för alla värden. Det var författaren Eudemos som gav Pythagoras äran.

"Summan av kvadraterna på kateterna är lika med kvadraten på hypotenusan."

a² + b² = c²

/| c/ | < - katet hypotenusa- > /| b/___| < - räta vinkelna

För att förstå något av detta, måste man givetvis begripa vad orden betyder. Grundförutsättningen är att triangeln är ritad i ett plan (planimetri) och rätvinklig, dvs att en av vinklarna är exakt 90 grader. Högst en vinkel kan (under dessa omständigheter) vara rät. De sidor som bildar den räta vinkeln kallas kateter. Den tredje, "sneda" sidan kallar vi hypotenusa. Om vi mäter kateternas längder, så kan vi räkna ut hur lång hypotenusan är, och Pythagoras sats säger hur den uträkningen går till: Summan av kvadraterna på kateterna är lika med kvadraten på hypotenusan.Eller: hypotenusan är kvadratroten på summan av kvadraterna på kateterna.

Nu frågar sig givetvis den vetgirige Varför är det så? Flera bevis finns för satsen och många finns samlade (engelsk länk).

Pythagoras sats fungerar även i dimensioner större än två, ty

För varje par av dimensioner kan en hypotenusa till den delade punkten (de delar alltid en punkt, om det så är (0,0)) beräknas. Detta kan sedan upprepas i oändligheten.

Exempelvis så fungerar det i R3 eftersom hypotenusan i planet z = 0 är sqrt(x² + y²)Hypotenusan, c, mellan planen z = 0 och y = 0 ska då uppfylla c² = z² + sqrt(x² + y²)² = x² + y² + z²Längden på hypotenusan är alltså sqrt(x² + y² + z²).

• i första upplagan av Nordisk familjebok, trettonde bandet, 1889

Nu kan man kanske fråga sig vad som händer om en av grundförutsättningarna bryts?Hur blir det om triangeln inte är ritad i ett plan, utan t.ex. på ytan av ett klot?Tänk att du står på Nordpolen och går tiotusen kilometer söderut, dvs ända till ekvatorn.Vrid dig sedan 90 grader åt höger och gå tiotusen kilometer västerut, alltså en fjärdedels varv runt ekvatorn.Vrid dig sedan 90 grader åt höger och gå tiotiosen kilometer norrut.Nu står du på Nordpolen igen.Här finns alltså en triangel med tre räta vinklar!Det är ett tydligt exempel på att vanlig trigonometri bara gäller på plana ytor.

Se även

• geometri
• trigonometri
• sfärisk trigonometri
• icke-euklidisk trigonometri
• Fermats stora sats

Slutsatsen i ditt nordpolsexempel är inte riktigt riktig.Man kan inte alls dra slutsatsen att den har tre räta vinklar, men dock att den har två, samt att den tredje är större än noll.På ett perfekt klot kommer den tredje att vara rät, men på jorden borde den vara någon bråkdels grad mindre, eftersom jorden är plattare vid polerna. -- David Kågedal

Hursomhelst har han visat att den gamla geometrin inte gäller för alla fall. För att komma till rätta med problemet med "Nordpolsexemplet" finns något som heter icke-euklidisk geometri. Tyvärr är inte artikeln skriven, jag skulle gärna se att någon skriver den, det är ett stort ämne inom modern geometri. -- Ulrik Sverdrup

Det vore trevlig om någon kunde börja med sfärisk trigonometri också. //Pel

Redigera?

Artikeln skriven 2009-01-18 av Learning4sharing

Inga kategorier för denna artikel än...

Intresserad av fler artiklar?

Baslinje
Juthas
Sextant
Jutas backe
Vrak
Strömma
Luleå Hockey
Markör
Västerås Idrottsklubb