Partiell differentialekvation

En partiell differentialekvation (PDE) är en differentialekvation som innehåller partialderivator, dvs funktionen som söks beror av fler än en variabel. En homogen PDE kan till exempel se ut så här:

link

Detta är den s.k. vågekvationen, som t.ex beskriver (endimensionell) ljudutbredning i luft. Lösningen till just denna ekvation kan generellt skrivas

u(x, t) = f(x - c t) + g(x + c t)

..där f och g är två godtyckliga funktioner som bestäms av rand- och begynnelsevillkor. c är vågens utbredningshastighet. Denna generella lösning till vågekvationen kallas dAlembert-lösningen, och är ett ovanligt exempel på en lätt analytisk lösning till en PDE. Vanligtvis måste numeriska metoder tillämpas för att få bukt med krångligare ekvationer.

Exempel på partiella differentialekvationer är..

• vågekvationen som beskriver vågutbredning i olika medier
• diffusionsekvationen som beskriver hur temperaturen i ett objekt varierar med positionen och tiden
• Naviers ekvation som beskriver flöden av vätskor och gaser
• balkekvationen som beskriver vibrationer i balkar och stänger (i det enklaste fallet ren böjning)
• schrödingerekvationen som beskriver kvantmekaniska fenomen

Vanliga numeriska (inexakta) lösningsmetoder är Finita DifferensMetoden (FDM) och Finita ElementMetoden (FEM). Exempel på exakta lösningsmetoder är separation, där lösingen beskrivs som en oändlig summa, och olika transformmetoder (se Laplacetransform och Fouriertransform).

Separation går som tidigare nämnt ut på att beskriva lösningen som en oändlig summa av dellösningar. Som exempel kan vi lösa vågekvationen med hjälp av separation, även om detta är onödigt eftersom denna ekvation har en enkel analytisk lösning. Vi söker en lösning på följande form:

u(x, t) = summa( Xn(x) Tn(t), n = 0, 1, 2,..oändligheten )

där Xn enbart beror av rumsvariabeln x och Tn endast av tiden t (därav namnet "separation"). Insättning av un = Xn Tn i vågekvationen och division med Xn Tn ger nu två ordinära differentialekvationer, som kan lösas med relativt enkla metoder.

Onekligen är det enklare i detta fall att direkt använda sig av den tidigare nämnda dAlembertlösningen. Jag vill passa på att rekommendera den utmärkta hemsidan http://www.mathworld.com

Redigera?

Artikeln skriven 2009-01-16 av Learning4sharing

Inga kategorier för denna artikel än...

Intresserad av fler artiklar?

Erik Leonsson
Innocentius IV
Kramring
Mjaumjau
Playahead
Stajl Plejs
Vitvaror
Glucinium
Bromstrumma