Matris

Innehåll- 1. Definition av matriser - 1.1 Speciella matriser - 2. Räknelagar - 2.1 Addition - 2.2 Subtraktion - 2.3 Multiplikation - 2.4 Division - 2.5 Invers och transponat - 3. Användningsområden - 4. Mat

1. Definition av matriser

En matris är inom matematiken ett rektangulärt schema av tal. Matriser används för att beteckna olika samband i linjär algebra, t.ex. linjära avbildningar.

En matris kan se ut så här:

|134 -2| A = |201 15| |-3 822| |4510|

Matrisen omges av hakparenteser eller vanliga parenteser. Matrisen betecknas ofta med en versal bokstav, t.ex. A. Om en matris har p rader och n kolonner kallas den för en p x n-matris. Matrisen här ovan är alltså en 4 x 4-matris och den är dessutom kvadratisk eftersom n = p. Talen i matrisen kallas element.

1.1 Speciella matriserTvå speciella matriser är nollmatrisen och enhetsmatrisen, E (även kallad identitetsmatrisen, I). Nollmatrisen består enbart av nollor. Enhetsmatrisen är kvadratisk och har ettor längs ena diagonalen, i övrigt består den av nollor:

|1000| E = |0100| |0010| |0001|

2. Räknelagar

2.1 AdditionNär två matriser adderas så summeras de element som står på samma plats i matriserna, båda matriserna måste alltså ha samma dimension.

Exempel:

|13 -4| |032| |16 -2| |052| + |17 -3| = |1 12 -1| |-1 31| |422| |353|

2.2 SubtraktionNär en matris B subtraheras från en matris A, A-B, så subtraheras det element ur B från det som står på samma plats i A. Även här gäller att båda matriserna måste ha samma dimension.

Exempel:

|13 -4| |032| |1 0 -6| |052| - |17 -3| = |-1 -25| |-1 31| |422| |-51 -1|

2.3 MultiplikationMatrismultiplikation är lite speciell, alla matriser går inte att multiplicera med varandra. För att a x b-matrisen A ska kunna multipliceras med B krävs att B har dimensionerna b x c, den resulterande matrisen får då dimensionen a x c. I exemplet nedan har jag använt bokstäver för att lättare åskådliggöra vad som händer.

Exempel:

|abc| |jkl| |aj+bm+cpak+bn+cqal+bo+cr| |def| x |mno| = |dj+em+fpdk+en+fqdl+eo+fr| |ghi| |pqr| |gj+hm+ipgk+hn+iqgl+ho+ir|

Det handlar om att ta den första matrisens n:e rad skalärmultiplicerat den andra matrisens p:e kolonn för att få elementet på plast n,p i resultatmatrisen. I exemplet ovan är det ((a b c) | (j m p)) = aj+bm+cp som är radvektor 1 och kolonnvektor 1 och således hamnar resultatet på plats 1,1 i matrisen.

Observera att detta medför att matrismultiplikation i allmänhet inte är kommutativ, alltså A x B är oftast inte detsamma som B x A.

2.4 DivisionDivision av matrisen A med matrisen B utförs genom att multiplicera A med den inversa matrisen till B.

2.5 Invers och transponat

• Högerinversen till B, får man genom att lösa ekvationssystem B x X = E, där E är enhetsmatrisen. Den okända matrisen X kallas då B:s Högerinvers. På samma sätt kan man hitta B:s vänsterinvers genom att lösa ekvationssystem X x B = E. Om vi har en vänsterinvers X och en högerinvers Y till matrisen B, gäller att X = Y om och endast om determinant av B är skild från noll. Då kallar vi X (eller Y) kort och gott för B:s invers, ofta betecknad B-¹ (B "upphöjd till" minus 1) och för den ska gälla att B-¹ x B = B x B-¹ = E.

• Transponatmatrisen, eller kort och gott transponatet, till en matris B får man genom att låta dess rader bli kolonner och vice versa. Transponatet till B betecknas B^T (B "upphöjd till" T). För ortogonala matriser gäller dessutom att transponatet är lika med inversen.

Exempel: |abc| |adg| B = |def| <=> B^T = |beh| |ghi| |cfi|

3. Användningsområden

• Minsta kvadratmetoden
• Linjära avbildningar
• Lösning av ekvationssystem med Gausselimination

Se även raster

4. Mat

Matris är en sorts ris.

Redigera?

Artikeln skriven 2009-01-17 av Learning4sharing

Inga kategorier för denna artikel än...

Intresserad av fler artiklar?

Riksråd
Rymdfarkost
Helikopter
UFO
Rodel
Ugn
Cykel
Riksdialektala ord
Lie