Start Logga In Skriv Artikel Om Oss
Vad söker du?
Allt om 'Komplexa tal'

Komplexa tal

Innehåll- 1. Allmänt om komplexa tal - 2. Det komplexa talplanet - 3. Det utvidgade komplexa talplanet (Riemannsfären) - 4. Representationsformer - 5. Komplexvärda funktioner (en variabel) - 6. Vektorer - 7. Användningsområden - 8. Se även

1. Allmänt om komplexa tal

Komplexa tal är en nödvändig utökning av den normala tallinjen (de reella talen, R) för att alla ekvationer ska få lösningar. Mängden av komplexa tal brukar betecknas med den versala, fetstilta bokstaven C.

Ett komplex tal har två delar; den reella och den imaginära. Ett komplext tal z (som alltså tillhör mängden C) representeras ofta på den kanoniska formen:

z = a+bi

Där är a och b två reella tal, som kallas för den reella delen och den imaginära delen av z. Formen bi är en komprimering av b·i däri är den imaginära enheten som ligger till grund för räkning med komplexa tal. Denna har egenskapen:

i² = -1

Häri ligger det magiska med komplexa tal som många tycker är svårt att hantera; eftersom i i kvadrat blir ett negativt tal kan man inte lösa ut i utan att använda just komplexa tal. Man räknar med komplexa tal precis med samma räkneregler som för vanliga tal bortsett från att i·i = -1. Eftersom i² = -1 så är lösningarna till z² = -1, z = i och z = -i. Därför kan ekvationer som med som saknar reella rötter nu få sina lösningar. Exempelvis z² + 4 = 0, saknar reella rötter men har de komplexa rötterna z = -2i och z = 2i.

2. Det komplexa talplanet

Det komplexa talplanet är det koordinatsystem som spänns upp av den reella och imaginära axeln. Den reella delen av talet utgör x-koordinaten, och den imaginära delen utgör y-koordinaten.

3. Det utvidgade komplexa talplanet (Riemannsfären)

Inför en punkt (oändligheten)Ligger oändligt långt bort i alla riktningar.I reell analys har vi två oändlighetspunkter, meni komplex analys har vi endast en sådan.

Borde inte de komplexa oändlighetspunkterna utgöra en kontinuerlig endimensionell mängd, en sorts cirkel på oändligt långt avstånd?

Varför?

Reella tal har ett absolutbelopp och en riktning (plus eller minus) Det finns en oändlighet i vardera riktningen. Analogt har imaginära tal ett absolutbelopp (r) och en riktning (theta). Om man skall ha en oändlighet för varje theta, som ju ligger i [0,2*pi], blir det väl en kontinuerlig mängd? - Tournesol- (Det var inte jag som skrev "varför".) Oändlighetspunkten för komplexa tal brukar åskådliggöras som exempelvis nordpolen på en glob, med origo i sydpolen. There can be only one. --Sn

Ne, det var jag som undrade varför. (Bara för att det var intressant att veta hur du kom fram till din "mängd".) /Esson

4. Representationsformer

Komplexa tal representeras antingen på kanonisk form (kallas även rektangulär form), vilket är detsamma som den som används ovan, a+bi, eller på polär form. I polär form anger man istället talets absolutbelopp och argument. Dessa uppkommer då man tänker sig en linje dragen från origo i det komplexa talplanet, ut till talets punkt. Absolutbeloppet blir således (enligt Pythagoras sats):

r = mod(z) = |z| = sqrt(a²+b²)

medan argumentet är:

t = arg(z)

som synes är argumentet inte entydigt bestämt: det finns ju flera vinklar som är möjliga! Normalt kanske man håller sig till argument mellan 0 och 2Pi, så är argumentet:

t = arg(z) = arctan(b/a)+k·2Pi om a > 0t = arg(z) = arctan(b/a)+Pi+k·2Pi om a < 0t = arg(z) = Pi/2 + k·2Pi om a = 0

http://hem.bredband.net/lenant/koplexatal.gif

där k tillhör de hela talen (...-2, -1, 0, 1, 2, 3...). Här gäller det att hålla tungan rätt i mun och tänka på enhetscirkeln! Man kan givetvis härleda formler som använder arcussinus och arcuscosinus på samma vis som arcustangens ovan.

Representationen på polär form skrivs ofta:

z = re^(it)

där r och t är som ovan.

Nu ser vi även att:

e^(it) = cost+isint

5. Komplexvärda funktioner (en variabel)

Sätt w = f(z), z tillhör Cf ordnar till varje z ett komplext ww kallas då bilden av z

Ex:w = z+3+iHär avbildas t ex Origo på punkten 3+i

Exw = izEftersom z = re^(it) och i = e^(i·(Pi/2)) enligt ovanGer w = re^(i·((Pi/2)+t))Nu ser vi alltså att bilden är en vridning med Pi/2 i positiv led.

6. Vektorer

Eftersom ett komplext tal kan skrivas på formen x + yi så kan talen representera vektorer i planet. Man låter då vektorn (x,y) vara ortsvektor till punkten x + yi i det komplexa talplanet. Detta kan vara speciellt intressant då man ska rotera en vektor med t grader. Man låter då vektorn (x,y) representeras av talet x + yi. Därefter roteras vektorn med t grader, genom att multiplicerax + yi med e^(ti). Anledningen till detta är följande:

x + yi = z = |z| * ( cos(arg(z)) + isin(arg(z)) ) = |z| * e^(arg(z)i)Låt arg(z) vara lika med a(x + yi) * e^(ti) = |z| * e^(ai) * e^(ti) = |z| * e^(ai + ti) = |z| * e^(i(a+ t) )|z| * e^(i(a+ t) ) = |z| * ( cos(a+ t) + isin(a+ t) )

z:s koordinater är som synes (x,y) = ( |z|cos(a)), |z|sin(a)) ). Efter mulitplikationen är koordinaterna( |z|cos(a+ t), |z|sin(a+ t) ). Därav är vektorn roterad med t grader. Tillvägagångssättet kan till en början verka krånglig men har sina fördelar vid olika tillfällen. Speciellt enkelt blir det att rotera en vektor med 90 och 180 grader.

7. Användningsområden

De komplexa talen används framförallt inom elektroniken och fysiken.

8. Se även

  • Komplexa tal/Definition
  • Komplexa funktioners derivata
  • Residykalkyl
  • j-omega-metoden

Redigera?

Artikeln skriven 2009-01-17 av Learning4sharing

Inga kategorier för denna artikel än...

Vi behhöver hjälp att kategorisera våra artiklar. Kan du skriva ett nyckelord för denna artikel? Du kan skriva upp till 3 olika nyckelord för denna artikel, vi uppskattar din hjälp!

Skriv nyckelord som du tycker beskriver denna artikel på ett bra sätt. Du kan ange 3 olika nyckelord för denna artikel, max 20 tecken per nyckelord.

  1. Lägg till fler
    Skriv in svaret på frågan: 9+0

Intresserad av fler artiklar?

Mönster
Brunnsviken
Fritz Krone
Monkeystrikes
Äktenskapsskillnad
Nya Dagen
Kornett
Kosmos
Svans

Senaste sökningarna

toalett har fått 2315 sökningar. Den senaste gjordes 2021-11-28 12:23:44.

etanol har fått 1448 sökningar. Den senaste gjordes 2021-11-28 12:23:36.

mikro har fått 1323 sökningar. Den senaste gjordes 2021-11-28 12:22:37.

vakuol har fått 1424 sökningar. Den senaste gjordes 2021-11-28 12:20:34.

den har fått 1397 sökningar. Den senaste gjordes 2021-11-28 12:16:27.

konsekvent har fått 1142 sökningar. Den senaste gjordes 2021-11-28 12:09:20.

72 har fått 1404 sökningar. Den senaste gjordes 2021-11-28 12:05:40.

Neutronstrålning har fått 890 sökningar. Den senaste gjordes 2021-11-28 12:03:54.

Soundtrack of Our Lives har fått 1168 sökningar. Den senaste gjordes 2021-11-28 12:03:25.

an har fått 1570 sökningar. Den senaste gjordes 2021-11-28 12:01:50.

moleky har fått 1360 sökningar. Den senaste gjordes 2021-11-28 12:00:01.

dagen D har fått 1396 sökningar. Den senaste gjordes 2021-11-28 11:58:55.

Designed by: template world
Learning4sharing.nu
All Rights Reserved. 0.31 SEK

Logga in

Välkommen att redigera och skriva nya artiklar!

Ingent Konto?

Skaffa konto för att redigera och skapa nya ariklar Nytt Konto.

Ny Användare

Välkommen att redigera och skriva nya artiklar! Skapa konto nedan.


Ett verifieringsmail kommer att skickas till din E-post som du måste öppna och verifiera din E-post med

Lägg till artikel

Du är inte inloggad.

Logga In eller Skapa konto.