Kardinalitet
En mängds kardinalitet, eller mäktighet, är ett mått på dess storlek. Två mängder har samma kardinalitet om det finns en bijektion mellan dem.Den gängse definitionen av kardinaliteten för en mängd M är det minsta ordinaltal som har samma kardinalitet, dvs det minsta ordinaltal a så att det finns en bijektion mellan M och a. Av urvalsaxiomet följer att varje mängd har en kardinalitet, dvs för varje mängd M så finns ett minsta ordinaltal a för vilket det existerar en bijektion från a till M.
Kardinaltalen kan adderas och multipliceras. För dessa operationer gäller lagen a+b=ab=max(a,b). Exponentiering av kardinaltal är däremot en icke-trivial operation. Man kan lätt visa att 2^k>k för varje kardinaltal k. Detta kan skärpas till cf 2^k > k, där cf står för kofinalitet. Med hjälp av en vidareutveckling av Cohens forcingmetod visade Easton att denna olikhet väsentligen är det enda som går att säga om exponentiering av kardinaltal. Alla utsagor som inte på något vis går att härleda till denna är obevisbara inom klassisk axiomatisk mängdlära.
"Väsentligen" i ovanstående stycke syftar på de singulära kardinaltalen. Dessa har en intressant aritmetik, som studerats bland annat av Silver och Shelah.
Artikeln skriven 2009-01-16 av Learning4sharing
Inga kategorier för denna artikel än...Intresserad av fler artiklar?
BilligDepesch
Tillgång
Integralkalkyl
Miniräknare
Professor Kalkyl
STFU
Omg
Noob