Differentialekvation
Differentialekvationer är mycket viktiga inom naturvetenskapen och beskriver många olika typer av problem, t ex kroppars rörelser och populationsdynamik. Differential- och integralkalkylen (som är lägger grunden för differentialekvationerna) härstammar från Isaac Newton och Gottfried Wilhelm von Leibniz. Här följer en kort introduktion:En differentialekvation är en ekvation som innehåller derivator av en okänd funktion.T.ex. är
f ´´(x) + f ´(x) = 0
en homogen ordinär differentialekvation med funktionens första och andra derivata. Just denna ekvations allmänna lösning är en funktion på formen
f(x) = A+B·exp(-x),
där A och B är godtyckliga konstanter som bestäms av randvillkor. Om t ex vi vet att f(0) = 0 så måste B = -A. Om vi dessutom vet att f ´(0) = 1 så ger detta B = -1 och därmed A = 1, så att
f(x) = 1 - exp(-x).
Se även partiell differentialekvation (som till skillnad från den ordinära differentialekvationen behandlar funktioner som beror av fler än en variabel). Som exempel på en inhomogen differentialekvation kan vi ta
f ´(x) + f(x) = sin(x)
Skillnaden här är att vi har ett högerled skilt från noll. Den generella lösningen till denna ekvation är
f(x) = 1/2·{ sin(x) - cos(x) } + C·exp(-x)
..där C är en godtycklig konstant.
Som ett exempel ur verkligheten kan vi ta rörelsen hos en massa upphängd i en (ideal) fjäder. Systemet beskrivs av Newtons andra lag, som säger att den yttre kraften som verkar på en kropp med massa m ges av m·a, där a är kroppens acceleration, dvs andraderivatan av positionen z med avseende på tiden t:
http://www.ngsir.netfirms.com/images/spring_mass.png
-k·z(t) - m·g = m·z ´´(t)
..där g = 9.82 m/s^2 är gravitationskonstanten. Lösningen till denna ekvation ges av
z(t) = D·cos( w·t ) + E·sin( w·t ) - m·g/k
..där w = sqrt( k/m )
Konstanterna D och E bestäms av begynnelsevillkor. Med andra ord förutspås vikten beskriva en pendlande rörelse med vinkelfrekvensen w, runt z = - m·g/k (dvs systemets jämnviktspunkt).
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/imgmec/shm14.gif
Egenskaper som vissa differentialekvationer har:
- homogen
- separabel
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/shm2.html
http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/SpringSHM.htm
Artikeln skriven 2009-01-18 av Learning4sharing
Inga kategorier för denna artikel än...Intresserad av fler artiklar?
MolotovcocktailAriel Sharon
Stern gang
Terroristorganisation
Fattig
Sayyid Muhammad Husayn Fadlallah
Självständig
Territorium
Miljard