Differentialekvation

Differentialekvationer är mycket viktiga inom naturvetenskapen och beskriver många olika typer av problem, t ex kroppars rörelser och populationsdynamik. Differential- och integralkalkylen (som är lägger grunden för differentialekvationerna) härstammar från Isaac Newton och Gottfried Wilhelm von Leibniz. Här följer en kort introduktion:

En differentialekvation är en ekvation som innehåller derivator av en okänd funktion.T.ex. är

f ´´(x) + f ´(x) = 0

en homogen ordinär differentialekvation med funktionens första och andra derivata. Just denna ekvations allmänna lösning är en funktion på formen

f(x) = A+B·exp(-x),

där A och B är godtyckliga konstanter som bestäms av randvillkor. Om t ex vi vet att f(0) = 0 så måste B = -A. Om vi dessutom vet att f ´(0) = 1 så ger detta B = -1 och därmed A = 1, så att

f(x) = 1 - exp(-x).

Se även partiell differentialekvation (som till skillnad från den ordinära differentialekvationen behandlar funktioner som beror av fler än en variabel). Som exempel på en inhomogen differentialekvation kan vi ta

f ´(x) + f(x) = sin(x)

Skillnaden här är att vi har ett högerled skilt från noll. Den generella lösningen till denna ekvation är

f(x) = 1/2·{ sin(x) - cos(x) } + C·exp(-x)

..där C är en godtycklig konstant.

Som ett exempel ur verkligheten kan vi ta rörelsen hos en massa upphängd i en (ideal) fjäder. Systemet beskrivs av Newtons andra lag, som säger att den yttre kraften som verkar på en kropp med massa m ges av m·a, där a är kroppens acceleration, dvs andraderivatan av positionen z med avseende på tiden t:

http://www.ngsir.netfirms.com/images/spring_mass.png

-k·z(t) - m·g = m·z ´´(t)

..där g = 9.82 m/s^2 är gravitationskonstanten. Lösningen till denna ekvation ges av

z(t) = D·cos( w·t ) + E·sin( w·t ) - m·g/k

..där w = sqrt( k/m )

Konstanterna D och E bestäms av begynnelsevillkor. Med andra ord förutspås vikten beskriva en pendlande rörelse med vinkelfrekvensen w, runt z = - m·g/k (dvs systemets jämnviktspunkt).

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/imgmec/shm14.gif

Egenskaper som vissa differentialekvationer har:

• homogen
• separabel

Bilder från bildsök. Hoppas att ingen misstycker..

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/shm2.html

http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/SpringSHM.htm

Redigera?

Artikeln skriven 2009-01-18 av Learning4sharing

Inga kategorier för denna artikel än...

Intresserad av fler artiklar?

Molotovcocktail
Ariel Sharon
Stern gang
Terroristorganisation
Fattig
Sayyid Muhammad Husayn Fadlallah
Självständig
Territorium
Miljard