Start Logga In Skriv Artikel Om Oss
Vad söker du?
Allt om 'Differentialekvation'

Differentialekvation

Differentialekvationer är mycket viktiga inom naturvetenskapen och beskriver många olika typer av problem, t ex kroppars rörelser och populationsdynamik. Differential- och integralkalkylen (som är lägger grunden för differentialekvationerna) härstammar från Isaac Newton och Gottfried Wilhelm von Leibniz. Här följer en kort introduktion:

En differentialekvation är en ekvation som innehåller derivator av en okänd funktion.T.ex. är

f ´´(x) + f ´(x) = 0

en homogen ordinär differentialekvation med funktionens första och andra derivata. Just denna ekvations allmänna lösning är en funktion på formen

f(x) = A+B·exp(-x),

där A och B är godtyckliga konstanter som bestäms av randvillkor. Om t ex vi vet att f(0) = 0 så måste B = -A. Om vi dessutom vet att f ´(0) = 1 så ger detta B = -1 och därmed A = 1, så att

f(x) = 1 - exp(-x).

Se även partiell differentialekvation (som till skillnad från den ordinära differentialekvationen behandlar funktioner som beror av fler än en variabel). Som exempel på en inhomogen differentialekvation kan vi ta

f ´(x) + f(x) = sin(x)

Skillnaden här är att vi har ett högerled skilt från noll. Den generella lösningen till denna ekvation är

f(x) = 1/2·{ sin(x) - cos(x) } + C·exp(-x)

..där C är en godtycklig konstant.

Som ett exempel ur verkligheten kan vi ta rörelsen hos en massa upphängd i en (ideal) fjäder. Systemet beskrivs av Newtons andra lag, som säger att den yttre kraften som verkar på en kropp med massa m ges av m·a, där a är kroppens acceleration, dvs andraderivatan av positionen z med avseende på tiden t:

http://www.ngsir.netfirms.com/images/spring_mass.png

-k·z(t) - m·g = m·z ´´(t)

..där g = 9.82 m/s^2 är gravitationskonstanten. Lösningen till denna ekvation ges av

z(t) = D·cos( w·t ) + E·sin( w·t ) - m·g/k

..där w = sqrt( k/m )

Konstanterna D och E bestäms av begynnelsevillkor. Med andra ord förutspås vikten beskriva en pendlande rörelse med vinkelfrekvensen w, runt z = - m·g/k (dvs systemets jämnviktspunkt).

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/imgmec/shm14.gif

Egenskaper som vissa differentialekvationer har:

  • homogen
  • separabel
Bilder från bildsök. Hoppas att ingen misstycker..

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/shm2.html

http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/SpringSHM.htm

Redigera?

Artikeln skriven 2009-01-18 av Learning4sharing

Inga kategorier för denna artikel än...

Vi behhöver hjälp att kategorisera våra artiklar. Kan du skriva ett nyckelord för denna artikel? Du kan skriva upp till 3 olika nyckelord för denna artikel, vi uppskattar din hjälp!

Skriv nyckelord som du tycker beskriver denna artikel på ett bra sätt. Du kan ange 3 olika nyckelord för denna artikel, max 20 tecken per nyckelord.

  1. Lägg till fler
    Skriv in svaret på frågan: 6+2

Intresserad av fler artiklar?

Molotovcocktail
Ariel Sharon
Stern gang
Terroristorganisation
Fattig
Sayyid Muhammad Husayn Fadlallah
Självständig
Territorium
Miljard

Senaste sökningarna

maya har fått 1176 sökningar. Den senaste gjordes 2020-02-20 05:23:53.

stadsstat har fått 1269 sökningar. Den senaste gjordes 2020-02-20 05:23:19.

c4 har fått 1237 sökningar. Den senaste gjordes 2020-02-20 05:21:54.

ansa har fått 1193 sökningar. Den senaste gjordes 2020-02-20 05:21:49.

nymf har fått 1160 sökningar. Den senaste gjordes 2020-02-20 05:21:23.

pppoe har fått 1038 sökningar. Den senaste gjordes 2020-02-20 05:18:28.

mälarhöjden har fått 748 sökningar. Den senaste gjordes 2020-02-20 05:16:09.

karl popper har fått 1098 sökningar. Den senaste gjordes 2020-02-20 05:14:31.

Fröken Höger har fått 720 sökningar. Den senaste gjordes 2020-02-20 05:10:29.

lincoln har fått 793 sökningar. Den senaste gjordes 2020-02-20 05:10:06.

banana har fått 980 sökningar. Den senaste gjordes 2020-02-20 05:09:40.

torrent har fått 1008 sökningar. Den senaste gjordes 2020-02-20 05:09:16.

Designed by: template world
Learning4sharing.nu
All Rights Reserved. 0.12 SEK

Logga in

Välkommen att redigera och skriva nya artiklar!

Ingent Konto?

Skaffa konto för att redigera och skapa nya ariklar Nytt Konto.

Ny Användare

Välkommen att redigera och skriva nya artiklar! Skapa konto nedan.


Ett verifieringsmail kommer att skickas till din E-post som du måste öppna och verifiera din E-post med

Lägg till artikel

Du är inte inloggad.

Logga In eller Skapa konto.