Aritmetikens fundamentalsats

Aritmetikens fundamentalsats säger att varje positivt heltal kan skrivas i form av en produkt av primtal på ett (och endast ett sätt), om man ej tar hänsyn till primfaktorernas ordning.T.ex. är 12 = 2·2·3, då man har tre primfaktorer.Primfaktorernas antal kan också vara ett, när talet självt är ett primtal såsom 5, och t.o.m. noll, när talet är 1 varvid det är frågan om den s.k. tomma produkten. (J. Pahikkala, 15 feb 2003)

Bevis av satsen:

1. Lemma 1

Om heltalet a är större än eller lika med 2 och om a inte är ett primtal, så är den minsta positiva äkta delaren till a ett primtal.

Bevis av Lemma 1:

Om a inte är ett primtal så måste det (enligt definitionen av primtal) ha någon positiv äkta delare och något måste vara minst. Vi kallar det tal för p.Eftersom p delar a så gäller a = p*c, där c är ett heltal, och framförallt 1 < p < a.Om p inte är ett primtal så måste p självt ha någon positiv äkta delare. Låt oss kalla denna delare för d och precis som ovan måste p = d*e, där e är ett heltal. Även här gäller att 1 < d < p.Men då är ju a = p * c = d*e * c. Det betyder att d delar a och vidare vet vi att 1 < d < p.Att d är positiv äkta delare till a och dessutom mindre än p är en motsägelse eftersom vi antagit att p är den minsta äkta delaren till a.Alltså måste p (den minsta positiva delaren till a) vara ett primtal.

2. Lemma 2

Varje heltal större än eller lika med 2 kan skrivas som en produkt av primtal.

Bevis av Lemma 2

Låt a vara ett heltal större än eller lika med 2.Om a är ett primtal så håller Lemma 2. (a: s primtalsfaktorer är a, som 5 ovan.)Annars så har a en äkta delare som är ett primtal. (Enligt Lemma 1.) Detta primtal kallar vi p1.Då gäller att a = p1 * a1.Om a1 är ett primtal så håller Lemma 2. (Då har vi delat in a i dess primtalsfaktorer p1 och a1.)Annars måste a1, enligt Lemma 1 ha en äkta delare som är ett primtal. Detta tal kallas för p2Då är a1 = p2 * a2, så att a = p1 * p2*a2.Är nu a2 ett primtal så håller Lemma 2. Om inte upprepas proceduren och eftersom a > a1 > a2 > ... > 2 så måste något a[k] vara ett primtal.Därmed är a uppdelat i sina primtalsfaktorer.

Enligt Lemma 2 så kan varje positivt heltal större än eller lika med 2 delas in i primtalsfaktorer. Nu ska det bevisas att det bara finns en uppdelning (bortsett ordning). Anta att det finns två olika primtalsfaktoriseringar. Vi kan skriva dem som:

a = p1*p2*...*p[i] = q1*q2*...*q[j]

Vi vet att p1 delar a och då måste p1 dela q1*q2*...*q[j]. Men då måste p1 dela q[k] för något k, men då q[k] är ett primtal måste p1 vara lika med q[k]. Vi kan då dela båda led med p1. Proceduren kan upprepas tills vi kommer till ett av tre fall.1. 1 = 1, Satsen bevisad. Alla p[l] är lika med något q[k].2. 1 = q[a] * q[b] * ... * q[n]. Men eftersom samtliga q är primtal är de större än eller lika med två och detta fall blir en omöjlighet.3. p[a] * p[b] * ... * p[n] = 1. Som fall 2.

Alltså kommer vi till fall ett och satsen gäller, det finns bara en primtalsfaktorisering.

Redigera?

Artikeln skriven 2009-01-18 av Learning4sharing

Inga kategorier för denna artikel än...

Intresserad av fler artiklar?

Baksmälla
Uppfinnare
Christiania
Oj
Piano
Skala
Popgrupp
Bryne
Hustru