Start Logga In Skriv Artikel Om Oss
Vad söker du?
Allt om 'Aritmetikens fundamentalsats'

Aritmetikens fundamentalsats

Aritmetikens fundamentalsats säger att varje positivt heltal kan skrivas i form av en produkt av primtal på ett (och endast ett sätt), om man ej tar hänsyn till primfaktorernas ordning.T.ex. är 12 = 2·2·3, då man har tre primfaktorer.Primfaktorernas antal kan också vara ett, när talet självt är ett primtal såsom 5, och t.o.m. noll, när talet är 1 varvid det är frågan om den s.k. tomma produkten. (J. Pahikkala, 15 feb 2003)

Bevis av satsen:

1. Lemma 1

Om heltalet a är större än eller lika med 2 och om a inte är ett primtal, så är den minsta positiva äkta delaren till a ett primtal.

Bevis av Lemma 1:

Om a inte är ett primtal så måste det (enligt definitionen av primtal) ha någon positiv äkta delare och något måste vara minst. Vi kallar det tal för p.Eftersom p delar a så gäller a = p*c, där c är ett heltal, och framförallt 1 < p < a.Om p inte är ett primtal så måste p självt ha någon positiv äkta delare. Låt oss kalla denna delare för d och precis som ovan måste p = d*e, där e är ett heltal. Även här gäller att 1 < d < p.Men då är ju a = p * c = d*e * c. Det betyder att d delar a och vidare vet vi att 1 < d < p.Att d är positiv äkta delare till a och dessutom mindre än p är en motsägelse eftersom vi antagit att p är den minsta äkta delaren till a.Alltså måste p (den minsta positiva delaren till a) vara ett primtal.

2. Lemma 2

Varje heltal större än eller lika med 2 kan skrivas som en produkt av primtal.

Bevis av Lemma 2

Låt a vara ett heltal större än eller lika med 2.Om a är ett primtal så håller Lemma 2. (a: s primtalsfaktorer är a, som 5 ovan.)Annars så har a en äkta delare som är ett primtal. (Enligt Lemma 1.) Detta primtal kallar vi p1.Då gäller att a = p1 * a1.Om a1 är ett primtal så håller Lemma 2. (Då har vi delat in a i dess primtalsfaktorer p1 och a1.)Annars måste a1, enligt Lemma 1 ha en äkta delare som är ett primtal. Detta tal kallas för p2Då är a1 = p2 * a2, så att a = p1 * p2*a2.Är nu a2 ett primtal så håller Lemma 2. Om inte upprepas proceduren och eftersom a > a1 > a2 > ... > 2 så måste något a[k] vara ett primtal.Därmed är a uppdelat i sina primtalsfaktorer.

Enligt Lemma 2 så kan varje positivt heltal större än eller lika med 2 delas in i primtalsfaktorer. Nu ska det bevisas att det bara finns en uppdelning (bortsett ordning). Anta att det finns två olika primtalsfaktoriseringar. Vi kan skriva dem som:

a = p1*p2*...*p[i] = q1*q2*...*q[j]

Vi vet att p1 delar a och då måste p1 dela q1*q2*...*q[j]. Men då måste p1 dela q[k] för något k, men då q[k] är ett primtal måste p1 vara lika med q[k]. Vi kan då dela båda led med p1. Proceduren kan upprepas tills vi kommer till ett av tre fall.1. 1 = 1, Satsen bevisad. Alla p[l] är lika med något q[k].2. 1 = q[a] * q[b] * ... * q[n]. Men eftersom samtliga q är primtal är de större än eller lika med två och detta fall blir en omöjlighet.3. p[a] * p[b] * ... * p[n] = 1. Som fall 2.

Alltså kommer vi till fall ett och satsen gäller, det finns bara en primtalsfaktorisering.

Redigera?

Artikeln skriven 2009-01-18 av Learning4sharing

Inga kategorier för denna artikel än...

Vi behhöver hjälp att kategorisera våra artiklar. Kan du skriva ett nyckelord för denna artikel? Du kan skriva upp till 3 olika nyckelord för denna artikel, vi uppskattar din hjälp!

Skriv nyckelord som du tycker beskriver denna artikel på ett bra sätt. Du kan ange 3 olika nyckelord för denna artikel, max 20 tecken per nyckelord.

  1. Lägg till fler
    Skriv in svaret på frågan: 5+8

Intresserad av fler artiklar?

Baksmälla
Uppfinnare
Christiania
Oj
Piano
Skala
Popgrupp
Bryne
Hustru

Senaste sökningarna

salmiak har fått 1148 sökningar. Den senaste gjordes 2022-01-27 15:06:56.

I 4 har fått 1265 sökningar. Den senaste gjordes 2022-01-27 15:06:18.

kausal har fått 1115 sökningar. Den senaste gjordes 2022-01-27 15:04:55.

jetplan har fått 1576 sökningar. Den senaste gjordes 2022-01-27 15:03:31.

gilgamesheposet har fått 1214 sökningar. Den senaste gjordes 2022-01-27 15:02:26.

august strindberg har fått 1769 sökningar. Den senaste gjordes 2022-01-27 15:01:15.

israel har fått 1388 sökningar. Den senaste gjordes 2022-01-27 15:00:30.

jubel har fått 1176 sökningar. Den senaste gjordes 2022-01-27 14:59:38.

vakttornet har fått 1083 sökningar. Den senaste gjordes 2022-01-27 14:58:55.

korkpistol har fått 1420 sökningar. Den senaste gjordes 2022-01-27 14:57:34.

stina har fått 1314 sökningar. Den senaste gjordes 2022-01-27 14:56:46.

lemen har fått 1181 sökningar. Den senaste gjordes 2022-01-27 14:56:03.

Designed by: template world
Learning4sharing.nu
All Rights Reserved. 0.31 SEK

Logga in

Välkommen att redigera och skriva nya artiklar!

Ingent Konto?

Skaffa konto för att redigera och skapa nya ariklar Nytt Konto.

Ny Användare

Välkommen att redigera och skriva nya artiklar! Skapa konto nedan.


Ett verifieringsmail kommer att skickas till din E-post som du måste öppna och verifiera din E-post med

Lägg till artikel

Du är inte inloggad.

Logga In eller Skapa konto.