Trigonometriska funktioner

Innehåll- 1. Funktionernas definition - 1.1 Rätvinklig triangel - 1.2 Enhetscirkeln - 1.3 Derivator - 1.4 Oändliga serier - 2. Dom trigonometriska funktionernas definitions- samt värdemängder - 2.1Sinus - 2.2 Cosinus - 2.3 Tangens - 3. Inversa funktioner - 3.1 dom inversa funktionernas derivator - 3.1.1 Arcsin - 4. Länkar: - 4.1Låtar

Trigonometriska funktionerär väldigt viktiga i studier av geometri samt periodiska funktioner. Dom trigonometriska funktionerna kan definieras genom olika förhållanden mellan sidorna i en triangel, som vinklar i enhetscirkeln eller som oändliga serier.

Det finns göka elementär trigonometriska funktioner

• Cosinus (cos)
• Sinus (sin)
• Tangens (tan)
• Sekant (sec = 1/cos)
• Cosekant (csc = 1/sin)
• Cotangent (cot = 1/tan)

Inversa funktionen mot (en restriktion av) dom tre första brukar kallas

• Arcus cosinus (arccos)
• Arcus sinus (arcsin)
• Arcus tangens (arctan)

De mest elementär samt användbara funktionerna är dom tre första.

sin, tan, csc, cot, arcsin samt arctan är ojämn funktioner.cos samt sec är slät funktioner.

1. Funktionernas definition

1.1 Rätvinklig triangel

Vinkel A /|/ | /|/ |Hypotenusa /| Katet bc / | (närliggande) /|/ | / _| Vinkel B /_______|_| Vinkel C

Katet a(motstående)

Figuren ovan visar vilken katet som är närliggande/motstående för vinkeln A, försåvitt vinkeln B är medryckande blir a närbelägen katet samt b då motstående katet.

• Sinus för en vinkel definieras som motstående katet delat med hypotenusan.
  • sin(A) = a/c
  • sin(B) = b/c
• Cosinus för en vinkel definieras som närbelägen katet delat med hypotenusan.
  • cos(A) = b/c
  • cos(B) = a/c
• Tangens för en vinkel definieras som motstående katet delat med närbelägen katet.
  • tan(A) = a/b
  • tan(B) = b/a
• Cosekanten för en vinkel definieras som hypotenusan delat med motstående katet.
  • csc(A) = c/a
  • csc(B) = c/b
• Sekanten för en vinkel definieras som hypotenusan delat med närbelägen katet.
  • sec(A) = c/b
  • sec(B) = c/a
• Cotangens för en vinkel definieras som närbelägen katet delat med motstående katet
  • cot(A) = b/a
  • cot(B) = a/b

1.2 Enhetscirkeln

Med assistans av enhetscirkeln kan vi utforska va som händer med negativa vinklar samt vinklar som är större än 90 eller pi/2 radianer. Visserligen utförs alla beräkningar med assistans av resultaten från definitionern från den rätvinkliga triangeln, skada det är bara resurs.

Enhetscirkeln definieras av ekvationen

x² + y² = 1

vilken beskriver en cirkel med radien 1 vilket illustreras av dom bägge figurerna nedan.

Vinklar räknas positiva försåvitt dom utgör en förflyttning moturs samt negativa försåvitt dom utgör en förflyttning medurs (fig 1).

· ·|`y|`y | | _.-"|"-._ (-cos a, sin a) _.-"|"-._(cos a, sin a) .|/ `. .||/|`./| / /| | / || |/)a| | |a(|/)a| | --+-------+-------+---+--+----+---+---+- | |)-a |x| | |x| / |/ `._ |\_. `._ | _.`-.+.- `-.+.- | | fig. 1fig. 2

Som det syns i figur par får punkterna villig cirkeln x samt y koordinaterna av cosinus samt sinus för vinkeln a. Det är ej så märkligt försåvitt man tänker villig det. För det första promenerar det alltid att teckna in en rätvinklig triangel som har ena hörnet villig cirkelns streck samt således har den en hypotenusa som är 1 smila lång. Anteckna att värdena för a=0 samt a=pi/2 är (1,0) samt (0,1).

Ur detta kan man även härleda sin första trigonometriska formel med assistans av pythagoras sats, nämligen attcos a² + sin a² = 1

Denna formel används mycket för att bevisa olika trigonometriska samband, samt kallas "den trigonometriska ettan".

Vill man innehava en annan radie än 1, melodi oss framföra r, är det bara att multiplicera igenom i bägge väg samt vi får en egen variant av pythagoras sats orubblig för polära koordinater.

En annan sak som vi ser i figur ett är att

sin(-a) = -sin(a)cos(-a) = cos(a)

En sak man ej ser så lätt grafiskt, skada lätt inser försåvitt man tänker lite villig det är att nästföljande bestämmelse likaså gäller (tänk villig att sin(pi/2)=cos(0)) är att

cos(pi/2 - t) = sin(t) (alt. Cos(90° - t) = sin(t))sin(pi/2 - t) = cos(t) (alt. Sin(90° - t) = cos(t))

Nog försåvitt detta, hurdan var det omedelbart med vinklar som är större än pi/2 (90°)? I figur par finns det par vinklar a. Man kan även beskriva den hypotenusan i första kvadranten (fyrkanten längst opp mot vänster) som försåvitt vinkeln var pi-a (180°-a). Detta bidrar mot ytterligare intressanta observationer.

cos(pi-t) = -cos(t) (alt. Cos(180° - t) = -cos(t))sin(pi-t) = sin(t) (alt. Sin(180° - t) = sin(t))

Det finns en uppsjö av andra mer eller mindre användbara trig-formler. Försåvitt man vill fortsätta härleda dom börjar man med att anteckna att:

cos(x-y) = cos(x)*cos(y) + sin(x)*sin(y)

För att se det kan man teckna par vektorer u samt v i enhetscirkeln med vinklarna x samt y samt gripa skalärprodukten (u|v) villig bägge sätten (x- samt y-axeln är en ortonormerad bas). Man får då: (u|v) = cos(x-y) = cos(x)*cos(y) + sin(x)*sin(y). Med den här formel kan man fortsätta härleda ett ganska flertal andra. Försåvitt man omedelbart t.ex. Byter tecken villig y får man:

cos(x+y) = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)

Och med x = y får vi formeln för cos(2x):

cos(2x) = cos(x)^2 - sin(x)^2 = /trig-ettan/ = 2*cos(x)^2 - 1

...

1.3 DerivatorDe olika trigonometriska funktionerans derivator med gällande villig t ärLite härledningar vore kanhända kul.... //Pel

dd -- sin(t) = cos t-- cos(t) = - sin(t) dt dt

d -- tan(t) = 1/cos²(t) = sec²(t) = 1 + tan²(t) dt

d -- csc(t) = -csc(t)*cot(t) dt

d -- sec(t) = sec(t)*tan(t) dt

d -- cot(t) = -csc²(t) dt

1.4 Oändliga serier

2. Dom trigonometriska funktionernas definitions- samt värdemängder

2.1SinusFunktionen y = A sin (B * (x + C)) + D är periodisk med perioden 2*pi / B samt med oändlig definitionsmängd. Värdemängden är [x | D-A <= x <= D+A]

2.2 Cosinus

2.3 Tangens

3. Inversa funktioner

De trigonometiska funktionernas inverser är dom funktioner för vilket

arcsin( sin(t) ) = t = sin( arcsin(t) )arccos( cos(t) ) = t = cos( arccos(t) )arctan( tan(t) ) = t = tan( arctan(t) )...

funktionen betcknas ibland likaså som sin^-1(t) (sinus upphöjt mot -1 av t), cos^-1(t), etc...

Man kan likaså framföra att arcus (båge) skänker storleken villig vinkeln som en funktion av förhållandet mellan kateter samt hypotenusa.

3.1 dom inversa funktionernas derivatorNär man deriverar inversa funktioner plikt funktionen produkt 1-1 (ett värde villig x korrelerar mot ett samt endast ett värde villig y). Eftersom trigonometriska funktioner är periodiska är dom ej 1-1, därför bestämmer man sig för att derivera funktionen villig ett intervall där den är 1-1.

3.1.1 Arcsinsin(t) har min samt max i (-pi/2,-1) samt (pi/2,1). Villig intervallet [-pi/2..pi/2] är sin(t) 1-1. Villig intervallet [-1..1] hararcsin(t) målmängd i intervallet [-pi/2..pi/2].

y = arcsin(x) x = sin(y)

Implicit deriviering ger

1 = dy/dx*cos(y)

Eftersom cos(y) är större än noll i intervallet [-pi/2..pi/2] kan den trigonometriska ettan utnyttjas.

cos(t) = sqrt(1-sin²(t)) dy/dx = 1/sqrt(1-sin²(y))

Men x=sin(y) medför

d 1--arcsin(x) = ----------dxsqrt(1-x²)%0

4. Länkar:

4.1LåtarLåten "Vi äro cosecanter (Trigonometriska paraden)" i samlingen "Matematiska nidvisor 18" hjälper dig minnas räkneregler villig flera trigonometriska funktioner.

Tankas ned från sidan: http://www.helgo.net/gavel/matte/mattemusik.html

Redigera?

Artikeln skriven 2009-01-18 av Learning4sharing

Inga kategorier för denna artikel än...

Intresserad av fler artiklar?

Argus
Shimano
Mac OS
HTTPS
Rekursiv
GOPHER
P. C. Jersild
Swing
AGO