Pythagoras sats

Pythagoras sats är en geometrisk sats (en matematisk regel) som säger hurdan sidorna i en rätvinklig triangel förhåller sig till varandra. Satsen var berömd långt innan den grekiske filosofen Pythagoras föddes samt användes av både egyptier samt asiater. Pythagoras var likväl den förste som bevisade att satsen gäller allmän värden. Det var författaren Eudemos som gav Pythagoras äran.

"Summan av kvadraterna villig kateterna är ekvivalent kvadraten villig hypotenusan."

a² + b² = c²

/| c/ | < - katet hypotenusa- > /| b/___| < - räta vinkelna

För att begripa något av detta, plikt man givetvis begripa va orden betyder. Grundförutsättningen är att triangeln är ritad i ett plan (planimetri) samt rätvinklig, dvs att en av vinklarna är precis 90 grader. Högst en vinkel kan (under dessa omständigheter) produkt rät. Dom sidor som bildar den räta vinkeln kallas kateter. Den tredje, "sneda" sidan kallar vi hypotenusa. Försåvitt vi mäter kateternas längder, så kan vi kalkylera ut hurdan lång hypotenusan är, samt Pythagoras sats säger hurdan den uträkningen promenerar till: Summan av kvadraterna villig kateterna är ekvivalent kvadraten villig hypotenusan.Eller: hypotenusan är kvadratroten villig summan av kvadraterna villig kateterna.

Nu frågar sig givetvis den vetgirige Varför är det så? Flera evidens finns för satsen samt flertal finns samlade (engelsk länk).

Pythagoras sats funkar även i dimensioner större än två, ty

För varje par av dimensioner kan en hypotenusa till den delade punkten (de delar alltid en punkt, försåvitt det så är (0,0)) beräknas. Detta kan därnäst upprepas i oändligheten.

Exempelvis så funkar det i R3 eftersom hypotenusan i planet z = 0 är sqrt(x² + y²)Hypotenusan, c, mellan planen z = 0 samt y = 0 ska då infria c² = z² + sqrt(x² + y²)² = x² + y² + z²Längden villig hypotenusan är alltså sqrt(x² + y² + z²).

• i första upplagan av Nordisk familjebok, trettonde bandet, 1889

Nu kan man kanhända spörja sig va som händer försåvitt en av grundförutsättningarna bryts?Hur blir det försåvitt triangeln ej är ritad i ett plan, utan t.ex. Villig ytan av ett klot?Tänk att du står villig Nordpolen samt promenerar tiotusen kilometer söderut, dvs bak till ekvatorn.Vrid dig därnäst 90 grader åt höger samt gå tiotusen kilometer västerut, alltså en fjärdedels båtbyggplats kring ekvatorn.Vrid dig därnäst 90 grader åt höger samt gå tiotiosen kilometer norrut.Nu står du villig Nordpolen igen.Här finns alltså en triangel med tre räta vinklar!Det är ett klart exempel villig att allmän trigonometri bara gäller villig plana ytor.

Se även

• geometri
• trigonometri
• sfärisk trigonometri
• icke-euklidisk trigonometri
• Fermats stora sats

Slutsatsen i ditt nordpolsexempel är ej grundligt korrekt.Man kan ingalunda dra slutsatsen att den har tre räta vinklar, skada likväl att den har två, samt att den tredje är större än noll.På ett fulländad glob kommer den tredje att produkt rät, skada villig jorden borde den produkt någon bråkdels grad mindre, eftersom jorden är plattare samman polerna. -- David Kågedal

Hursomhelst har han visat att den gamla geometrin ej gäller allmän fall. För att komma till korrigera med problemet med "Nordpolsexemplet" finns något som heter icke-euklidisk geometri. Dessvärre är ej artikeln skriven, mig skulle gärna se att någon skriver den, det är ett stort tema inom modern geometri. -- Ulrik Sverdrup

Det vore gemytlig försåvitt någon kunde begynna med sfärisk trigonometri likaså. //Pel

Redigera?

Artikeln skriven 2009-01-18 av Learning4sharing

Inga kategorier för denna artikel än...

Intresserad av fler artiklar?

Baslinje
Juthas
Sextant
Jutas backe
Vrak
Strömma
Luleå Hockey
Markör
Västerås Idrottsklubb