Pascals triangel

Pascals triangel är en enkel uppställning av binomialkoefficienterna för ett mängd potenser av binom i tilltagande grad från 0. Pascals triangel ser ut såhär:

0 11 1 121213 1 3 3 141 464 15 1 5 10 10 5 1

Man kan fortsätta att montera villig triangeln nedåt så fort man ser principen: ytterst villig kanterna finns alltid ettor, mellan dessa summerar man dom par ovanliggande talen. Pascals triangel kan användas för att forma ett binom av godtycklig grad i enlighet med binomialsatsen. Exempel:

(a - b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b² - 10a²b^3 + 5ab^4 - b^5

Som synes kommer tecknen att alternera (om a är negativt är första koefficienten såklart negativ), medans koefficienterna för dom olika potenserna kan hämtas från pascals triangel.

Om man ritar pascals triangel villig det här viset istället:

11 11 2 11 3 3 11 4 6 411 5 1010 51

Ser man något märkligt: försåvitt man summerar talen snett nedåt vänster från övre högra kanten får man talserien 1 1 2 3 5 8 ... Dvs fibonacciföljden.

Summeringen skall således förekomma enligt:1 = 11 = 11 + 1 = 22 + 1 = 31 + 3 + 1 = 53 + 4 + 1 = 8...

Ytterligare en plötslig egenskap hos Pascals triangel är att försåvitt man färgar alla jämna nummer i en kulör samt alla ojämn i en annan, så framträder Sierpinskis triangel. För en illustration, se t ex http://mathforum.org/workshops/usi/pascal/pascal_sierpinski.html

Det där kan man verkligen undra försåvitt det skall tolkas som vetenskapligt: Varför är ej alla vita trianglar numrerade? Varför är det göka siffror i den något större vita triangeln som kommer villig den femte raden, den består va mig kan erfara av sexton mindre trianglar? Varför avgår numreringen när den stora vita trianglen dyker opp efter 8 rader?

Bara dom uppåtriktade trianglarna är numrerade. Där flera vita trianglar ligger bredvid varandra flyter dom ihop mot en stor.

Det är varken något "magiskt" eller "vetenskapligt" i detta, utan helt lätt en inneboende egenskap hos Pascals triangel. Triangeln villig mathforum-sidan är något stiliserad för att mönstret skall framgå tydligare, skada prova gärna själv att producera experminentet med fler nummer ur triangeln så ser man ganska snart hurdan Sierpinskis trianglar framträder. // Shrimp

Redigera?

Artikeln skriven 2009-01-17 av Learning4sharing

Inga kategorier för denna artikel än...

Intresserad av fler artiklar?

Konsekutiv
Kubregeln
Binomiska ekvationen
Koefficient
Kompromiss
Verksamhet
Teokrati
Geronto
Nekrokrati